Μπορείτε να προσεγγίσετε το Pi ρίχνοντας βελόνες στο πάτωμα

Καλή Ημέρα Πι! Η 14η Μαρτίου είναι η ημερομηνία που οι κατά τα άλλα ορθολογικοί άνθρωποι γιορτάζουν αυτόν τον παράλογο αριθμό, επειδή το 3/14 περιέχει τα τρία πρώτα ψηφία του π. Και γεια, η pi αξίζει μια μέρα. Εξ ορισμού, είναι ο λόγος της περιφέρειας και της διαμέτρου ενός κύκλου, αλλά εμφανίζεται σε κάθε είδους μέρη που δεν φαίνεται να έχουν καμία σχέση με κύκλους, από τη μουσική μέχρι την κβαντομηχανική.

Το Pi είναι ένας απείρως μεγάλος δεκαδικός αριθμός που δεν επαναλαμβάνεται ποτέ. Πώς ξέρουμε; Λοιπόν, οι άνθρωποι το έχουν υπολογίσει σε 314 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία και δεν έφτασαν στο τέλος. Σε εκείνο το σημείο, τείνω να το αποδεχτώ. Εννοώ ότι η NASA χρησιμοποιεί μόνο τα πρώτα 15 δεκαδικά ψηφία για την πλοήγηση διαστημικών σκαφών, και αυτό είναι υπεραρκετό για επίγειες εφαρμογές.

Το πιο ωραίο πράγμα, για μένα, είναι ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι προσέγγισης αυτής της τιμής, για τους οποίους έχω γράψει στο παρελθόν. Για παράδειγμα, μπορείτε να το κάνετε μέχρι ταλάντωση μάζας σε ελατήριο. Αλλά ίσως η πιο τρελή μέθοδος από όλες αποδείχθηκε το 1777 από τον George Louis Leclerc, Comte de Buffon.

Δεκαετίες νωρίτερα, ο Μπουφόν είχε θέσει αυτό ως ερώτηση πιθανότητας στη γεωμετρία: Φανταστείτε ότι έχετε έναν όροφο με παράλληλες γραμμές που χωρίζονται από απόσταση ρε. Σε αυτό το πάτωμα, ρίχνετε ένα μάτσο βελόνες με μήκος μεγάλο. Ποια είναι η πιθανότητα μια βελόνα να διασχίσει μια από τις παράλληλες ευθείες;

Μια εικόνα θα σας βοηθήσει να καταλάβετε τι συμβαίνει. Ας πούμε ότι ρίχνω μόνο δύο βελόνες στο πάτωμα (μη διστάσετε να αντικαταστήσετε τις βελόνες με κάτι πιο ασφαλές, όπως οδοντογλυφίδες). Επίσης, για να κάνουμε τα πράγματα πιο εύκολα αργότερα, μπορούμε να πούμε ότι το μήκος της βελόνας και η απόσταση των γραμμών είναι ίσα (d = L).

Μπορείτε να δείτε ότι η μία από τις βελόνες περνάει μια γραμμή και η άλλη όχι. Εντάξει, αλλά ποιες είναι οι πιθανότητες; Αυτό δεν είναι το πιο ασήμαντο πρόβλημα, αλλά ας σκεφτούμε μόνο μια πεσμένη βελόνα. Μας ενδιαφέρουν μόνο δύο αξίες – η απόσταση (x) από το πιο μακρινό άκρο της βελόνας σε μια γραμμή και τη γωνία της βελόνας (θ) σε σχέση με μια κάθετη (δείτε το παρακάτω διάγραμμα). Αν x είναι μικρότερο από το μισό της απόστασης μεταξύ των γραμμών, έχουμε μια διασταύρωση βελόνας. Όπως μπορείτε να δείτε, θα έχετε μεγαλύτερη πιθανότητα με μια μικρότερη x ή ένα μικρότερο θ.